Friday, March 31, 2006

ஃபிபனோசி எண்கள் ! கணக்குப் பாடமல்ல..

Fibonacci numbers

ஃபிபனோசி எண்கள் !

ஒரு எண்தொடரில் இவ்வளவு ரகசியங்களா..மர்மம்.. ஸ்வாரஸ்யம் இதன் மறுபெயர் தான் ஃபிபனோசி எண்கள் என நினைக்கிறேன். டாவின்ஸி கோட் என்னும் பிரபலமான நாவலும் இந்த எண்ணின் ரகசிங்களை உணர்த்தியுள்ளது.

இயற்கையைக் கவிஞராக மட்டுமே உருவகப் படுத்திய கவிகள் இப்போது கணிதவியல் வல்லுனராக வாழ்த்திப் பாடினாலும் ஆச்சர்யப்படுவதற்கில்லை.

ஃபிபனோசி எண்களைக் கேள்விப்படாதவர்கள் இங்கே குறைவுதான் என நினைக்கிறேன். பன்னிரண்டாம் வகுப்பிலேயே கணிதப் பாடத்தில் வந்திருக்கிறது அல்லவா.

கல்லூரிகளின் கணிப்பொறியியல் படித்தவர்கள் நிச்சயமாக ஏதேனும் ஒரு கணிணி மொழியிலாவது இந்த ஃபிபனோசி எண்களை உருவாக்க ப்ரொகிராம் எழுதியிருக்க வேண்டும்.

எதற்கும் இங்கே சிறு விளக்கம்..இந்த ஃபிபனாஸி தொடரில் ஒவ்வொரு எண்ணும் அதற்கு முந்தைய இரு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் ..இதோ அந்த தொடர்.. Fibonacci series: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... அடுத்தடுத்த ஜோடி எண்களின் விகிதம் கோல்டன் செக்ஸன் ( golden section) (GS) - 1.618033989 அதன் தலைகீழி 0.618033989 .

இந்த எண்களின் பயன்பாடு குறித்து எனக்கு அப்போது பெரிதாக ஏதும் தெரிந்திருக்கவில்லை. ஆனால் இந்த எண் இவ்வளவு மர்மமான.. சுவாரஸ்யமான வாழ்க்கையின் ஒவ்வொரு பகுதியிலும் தொடர்பு படுத்தக் கூடியதாய் இருக்குமென நினனக்கவே இல்லை..

இயற்கையோடு இந்த எண்ணுக்குரிய தொடர்பைப் பார்க்கும் முன்பு ஒரு சிறிய வரலாற்றுப் பிண்ணனியைப் பார்ப்போம்..

1170இல் பிறந்த லியாணர்டோ பைசானோ (Leonardo Pisano ) என்பது இயற்பெயராக இருந்தபோது அதை ஃபிபனோசி அதாவது பனோசியின் மகன் (son of Bonacci) என மாற்றிக் கொண்டார். இவர் ஹிந்து-அராபிய (0-9) எண்களின் பயனை அறிந்து ஐரோப்பியாவில் அதை அறிமுகப்படுத்தியவர்களில் ஒருவர்.

இவரின் பங்களிப்பு பாஸ்கல் முக்கோணம் , தங்க கோணம் (Goldan Angle ) என பலபலவாக இருந்தாலும் இயற்கைக்குள்ள தொடர்பைக் காண்போம்.

நம்மில் பலர் மலர்களை ரசித்திருந்தாலும் அவற்றின் இதழமைவை ஆராய்ந்திருப்போமா என்பது சந்தேகமே.அவ்வாறு ஆராய்ந்திருந்தால் பலபல மலர்களுக்கிடையேயான இதழ் எண்ணிக்கைகள் ஒரு எண் தொடரில் இருந்திருப்பதை உணரலாம்.. அது ஃபிபனோசி தொடரே

  • 3 petals: lily, iris
  • 5 petals: buttercup, wild rose, larkspur, columbine (aquilegia)
  • 8 petals: delphiniums
  • 13 petals: ragwort, corn marigold, cineraria,
  • 21 petals: aster, black-eyed susan, chicory
  • 34 petals: plantain, pyrethrum
  • 55, 89 petals: michaelmas daisies, the asteraceae family

Some species are very precise about the number of petals they have - e.g. buttercups, but others have petals that are very near those above, with the average being a Fibonacci number.


ஒரு இதழில் மலர் ...
white calla lily

ஈரிதழ் மலர்கள் அரிய வகை


euphorbia
மூவிதழ் மலர்கள் வெகு சாதாரணம்


trillium

ஐவிதழ் மலர்க் குடும்பங்களே நூற்றுக்கணக்கில்


எட்டு இதழ்கள் கொஞ்சம் அரிது


bloodroot

இது பதிமூன்று


black-eyed susan
டெய்ஸி மலர்கள் 13, 21, 34, 55 அல்லது 89 இதழ்களோடு காணப்படுவது சாதாரணம்.


shasta daisy with 21 petals

34 இதழோடு.



ஆச்சர்யமாக இருக்கிறதல்லவா. அடுத்தமுறை என்ன பூ கிடைத்தாலும் பொறுமையாக எண்ணிப்பருங்கள்..

மலர்களோடு மட்டும் இது நிற்கவில்லை.. இதோ அடுத்த ஆச்சர்யம்.

மனித கைகளின் விரலமைவும் கூட இந்த எண்ணை ஒத்து போகிறது. இது தற்செயலாகக் கூட இருக்கலாம் !

இன்னும்பல ஆச்சர்யங்கள் இங்கே... http://www.world-mysteries.com/sci_17.htm


24 comments:

ஸ்ருசல் said...

நல்ல தகவல். நன்றி.


தொடுப்பு கொடுத்ததற்கும்!

Unmai said...

கார்த்தி! மிக சுவாரஸ்யமான தகவல்..:) மிக்க நன்றி!

நாகு said...

good article.

Sam said...

http://www.artlex.com/ArtLex/g/goldenmean.html
நீங்கள் எழுதியதை கட்டிடக்கலையிலும் உபயோகப் படுத்தியிருக்கிறார்கள். இது
கிரேக்கர்கள் காலத்திலேயே ஆரம்பித்து விட்டது
அன்புடன்
சாம்

ஜெயஸ்ரீ said...

சுவையான தகவல்கள். இதுவரை கேள்விப்பட்டதில்லை. நன்றி.

Suka said...

ஸ்ருசல்..உண்மை..நாகராஜன்.. ஜெயஸ்ரீ,..

நன்றி..

Suka said...

சாம்..

இணைப்பிற்கு நன்றி .. நல்ல தகவல்கள்.

குமரன் (Kumaran) said...

ஏற்கனவே இந்த எண்களைப்பற்றியும் அவற்றுக்கும் இயற்கைக்கும் உள்ள உறவினைப் பற்றியும் படித்திருக்கிறேன் என்று நினைக்கிறேன். மனதில் நிற்கவில்லை. இப்போது உங்கள் பதிவினைப் படித்தபின் நினைவில் நிற்கும்.

நல்ல பதிவு சுகா.

Suka said...

நன்றி குமரன் ..

Anonymous said...

have you watched pbs' new program,
http://www.pbs.org/previews/storyof1/

it presents Fibonacci

Suka said...

அடடா .. மிஸ் பண்ணிட்டேன்.. அநேகமாக ரீடெலகாஸ்ட் செய்வார்கள் என நம்புகிறேன் ...

மிக்க நன்றி..

துளசி கோபால் said...

நம்பவே முடியலைங்க. ரொம்ப சுவையான புதுத்தகவல்.

Suka said...

வாங்க .. துளசி

நான் இங்க எழுதியிருக்கறது .. கொஞ்சம் தான்..இணைப்புகள் இன்னும் ஸ்வாரஸ்யமான தகவல்களைத் தரும்..

பரஞ்சோதி said...

சுகா அருமையான பதிவு,

தெரியாத விசயங்களை படிப்பதில் தனி மகிழ்ச்சி தான், ஆச்சரியத்தோடு படித்தேன், இப்போ கூட விரல்களை பார்க்கிறேன், இனிமேல் பூக்களை பார்த்தால் கட்டாயம் உங்க நினைவு வரும்.

Suka said...

நன்றி பரஞ்சோதி..

உங்களுக்கு பயனுள்ளதாய் அமைந்ததில் மகிழ்ச்சி.

சுகா

மு. சுந்தரமூர்த்தி said...

சுகா,
இன்னொரு நல்ல கட்டுரைக்கு நன்றி.

படிகங்களில் 1,2,3,4,6 பக்க சமச்சீர் அமைப்புகளே (1,2,3,4,6-fold symmetry elements) சாத்தியமென்று அறியப்பட்டிருந்தது. ஐம்பக்க சமச்சீர் சாத்தியமில்லை என்பதும் நிறுவப்பட்டிருந்தது. இதுவே இரு பரிமாணத்தில் விளக்கவேண்டுமென்றால் தரையை இரு பக்க சமச்சீரமைப்பு கொண்ட செவ்வக வடிவப் பலகைகளால் இடைவெளியில்லாமல் நிரப்பமுடியும். அதே போல், சமபக்க முக்கோண (3-fold), சதுர (4-fold), அறுகோண (6-fold) வடிவ பலகைகளால் இடைவெளியின்றி நிரப்பமுடியும். ஆனால் ஐங்கோண (5-fold) பலகையால் நிரப்ப முடியாது.

சுமார் 20 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு முதன்முறையாக சில உலோகக் கலவைகளில் ஐம்பக்க சமச்சீர் அமைப்பு இருப்பது கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஆனால் இது உள்சமச்சீரமைப்பாகத் internal symmetry) தான் இருக்கமுடியும் தொலைதூர சமச்சீரமைப்பாக (long range symmetry) இருக்க சாத்தியமில்லை. அதாவது அங்கங்கு ஐங்கோணப் பலகைகளால் தரையை பாவலாம். ஆனால் தொடர்ந்து அடுக்கமுடியாது. இத்தகைய ஐம்பக்க சமச்சீரமைப்பு கொண்ட படிகங்களை வைத்து எடுக்கப்படும் x-கதிர் பிம்பங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் இடைவெளிகள் ஃபிபனாக்கி தொடர் எண்களின் விகிதத்தில் இருந்தது கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

குழப்பியிருந்தால் மன்னிக்கவும்.

இதுபோன்ற கட்டுரைகளைத் தொடர்ந்து எழுதுங்கள்.

Suka said...

சுந்தர மூர்த்தி,

நல்ல தகவலை இவ்வளவு தெளிவாகத் தமிழில் கூறினால் யாருக்குத்தான் புரியாது. நீண்ட விளக்கத்துடன் நல்ல தகவலை இங்கே சேர்த்ததற்கு மிக்க நன்றி..

சிவகுமார் said...

அருமையான சுவையான பதிவு. நன்றி சுகா.

Suka said...

நன்றி பெருவிஜயன்.

Unmai said...

கார்த்திக், Da Vinci Code படித்துக்கொண்டிருக்கிறேன். 20-ம் அத்தியாயத்தில் Fibonacci எண்கள் பற்றியும், PHI(1.618) என்ற விகிதம் குறித்தும் கூறப்பட்டிருக்கிறது.

Suka said...

ஓ .. உண்மை, டாவின்ஸி கோட் தான் இந்தப் பதிவை எழுதத் தூண்டியது :)

தெரியுமா.. டாவின்ஸி கோட் திரைப்படம் மே யில் வெளிவரப் போகிறது.. பலத்த எதிர்பார்ப்பு அதற்கு. கூகுள் கூட போட்டிகள் வைத்து பிரபலப்படுத்தியிருக்கிறது.

நீங்கள் இந்த புத்தகத்தையும் முடிக்காமல் கீழேவைக்கப் போவதில்லை என்பது உறுதி :)

வவ்வால் said...

ம்ம் ... நான் ஒராண்டுக்கு முன்னர் டாவின்சி கோட் படித்த போது அது தொடர்பாக மேலும் பல வலைமனைகளில் படித்த போது பிஃபனோசி எண்கள் பற்றி மேல்விவரங்கள் தெரிய வந்தது.அப்போது தான் அதன் தாத்பரியமே புரிஞ்சது!(படிக்கிற காலத்துல பிபனோசி,லாப்லாஸ்,ஃபோரியர் லாம் என்ன மிரட்டினது வேற விஷயம்)... லேட்டா போட்டாலும் லேட்டஸ்டா போட்டு தாக்கிடிங்கண்ணா! இதே போல நல்லதா 'மேட்டர் அடிக்கடி போடுங்கண்ணா!

ஆமாம் டான் பிரொவ்ன் காப்பி அடிச்சதா ஒரு மேட்டர் புகைஞ்சதே உண்மையா அது? இவரோட ஏஞ்சல்ஸ் அன்டு டெமான் ஸ்,டிஜிட்டல் ஃபோர்ட்ரஸ், டிஸப்ஷன் பாய்ண்ட்,எல்லாம் அப்பரம் தேடி படிச்சேன்.எனக்கு என்னமோ லாஜிக் இல்லாம சுவையா பீலா விடுரார்னு தான் தோனுது!

Sivabalan said...

சுகா!!


மிக அருமையான பதிவு!!


மலர்களில் ஃபிபனாஸி தொடர்!!

அருமை!!

Suka said...

நன்றி வவ்வால்.. சிவபாலன்..